Elektroschwache Vereinheitlichung

        Glashov, Salem, Weinberg, Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung

Wir wissen, dass Leptonen und Quarks als linkshändige Paare ((), ()), die sich in der dritten Komponente des schwachen Isospins T unterscheiden und rechtshändigen Singlets () auftreten. Die Paare und die Singlets werden durch die Hyperladung Y unterschieden. Der schwache Isospin hat nichts mit dem Isospin zu tun, er ist ein Attribut der Leptonen und der Quarks und charakteristisch für die schwache Wechselwirkung. Der Austausch von geladenen W-Bosonen bewirkt dann eine Erhöhung (Erniedrigung) des schwachen Isospins von -1/2 auf +1/2.

     Flavour Quantenzahlen von Leptonen und Quarks:
t: schwacher Isospin mit dritter Komponente
y: schwache Hyperladung
q: Ladung

Bemerkung: manchmal wird auch die Definition benutzt, da die Normierung des Generators einer abelschen Gruppe frei ist.

 

Teilchen t y q Leptonen

0 0 -1 -1 Quarks

0 0  2/3  2/3

0 0 -1/3 -1/3

Die Quarks, die als linkshändige Partner von (u, c, t) auftreten sind nicht identisch mit (d, s, b) sondern Linearkombinationen. Damit man den richtigen Quarkstrom erhält, muss man die Cabibbo Mischung für die d-Quarks nehmen:

  Wir verlangen Invarianz unter einer Drehung im schwachen Isospinraum () und im Hyperladungsraum (). Die Eichtransformation der Hyperladungsgruppe geschieht wie in der QED. Statt der Ladung q haben wir jetzt aber die Hyperladung Y. Wir wenden nun beide Transformationen an:
Einkomponentig mit Feld und Kopplungskonstante g, die an die Hyperladung Y koppelt.
2-komponentig mit 3 Eichfeldern und Kopplungskonstante g.

Die kovariante Ableitung wird dann zu

Die Matrizen T und Y haben die Gestalt

sie bilden die Erzeugenden der Gruppe

Für die Feldstärkentensoren können wir direkt die Ergebnisse aus den vorhergehenden Kapiteln nehmen:

Die Lagrangedichte für die elektroschwache Wechselwirkung folgt dann mit minimaler Substitution: 

Der Kopplungsterm im Lagrangian wird dann beispielsweise für einen Spinor mit Elektronneutrino und Elektron (, ):

   geladener Strom

Für die geladenen Bosonen gibt sich die bekannte V-A Theorie.

• werden als die geladenen W-Bosonen identifiziert.
• erzeugen und vernichten W, W
• koppelt an die Neutrinos, hat also keine Komponente des Photonfeldes, da das Neutrino ungeladen ist.
•  Normiertes Feld
  Der Weinbergwinkel ist der Mischungswinkel der Felder und .
  
• orthogonales Feld
• und sind also Linearkombinationen von und , wobei der schwache Isospinpartner von und ist und das Feld der schwachen Hyperladung.

neutraler Strom
Mit den Feldern A und lässt sich der neutrale Strom schreiben:

• Der Weinbergwinkel misst die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung relativ zur schwachen Wechselwirkung. Da die Kopplungsstärke der elektromagnetischen Wechselwirkung q ist, folgt: .

  

• Eichinvarianz ist nur möglich, wenn die Fermionen keine Massen haben (ein Masseterm ist nicht invariant unter ).
• projiziert auf die Zustände negativer (positiver) Helizitäten:
  
• Die elektrische Ladung ist bis auf eine Drehung um den Weinbergwinkel so gross wie die schwache Ladung . dass die elektromagnetische Wechselwirkung wesentlich stärker ist als die schwache liegt am Propagatorterm der Austauschteilchen. Im Nenner steht die Masse des Austauschteilchens (

  Wir haben gezeigt, dass durch Eichung der Gruppe die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung beschrieben werden kann. Die Theorie entstand 1961, sagte also die Existenz des Z-Bosons voraus, der schwache Strom wurde erst 1973 entdeckt. Der Weinbergwinkel ist frei und muss durch das Experiment angepasst werden.

Experimentell wurde folgender Wert für den Mischungswinkel gefunden:

Die Theorie hat aber einen entscheidenden Fehler: sowohl die Massen der schwachen Eichbosonen als auch der Elektronen () und der Quarks fehlen.