Symmetriebrechung bedeutet, dass die Grundgleichungen eines Systems eine Symmetrie besitzen, die der Grundzustand nicht anzeigt.
Beispiel: Ein Teilchen in einem symmetrischen Potential V (Figur3.1)
Abbildung 3.1: Higgs Potential
Der Grundzustand ist entartet: für 
ist die Energie minimal.
Anderes Beispiel: spontane Magnetisierung eines Festkörpers: die Magnetisierung M entspricht einem Feld 
. Der Erwartungswert von M im Grundzustand ist ungleich Null, aber nur sein absoluter Wert ist festgelegt, nicht seine Richtung. Der Grundzustand zeichnet also eine Richtung aus dies nennt man spontane Symmetriebrechung oder hidden Symmetry, weil die Symmetrie ja noch da ist.
Die folgende Diskussion des Higgs Mechanismus bezieht sich im Wesentlichen auf Kapitel 14 und 15 von Martin und Halzen.
Die Lagrangedichte von einem skalaren Feld ist
mit dem Minimum für 
Wir brechen nun die Symmetrie und wählen +f als Grundzustandswert. Für die Störungstheorie entwickeln wir das Feld um den Grundzustand
Damit wird die Lagrangedichte:
Das neue Feld 
hat also einen Masseterm mit Masse 
die Terme mit 
und 
beschreiben die Selbstwechselwirkung des Feldes.
Analog geht die Erweiterung auf ein komplexes Feld: 
:
mit dem Minimum 
. Wir wählen für den Grundzustand 
und machen wieder die Entwicklung um den Grundzustand:
daraus folgt
Wir kriegen einen Masseterm für (
während 
masselos bleibt. Man nennt auch das Goldstone Boson. Die endliche Masse ergibt sich wegen der Potentialkrümmung in radialer Richtung. Da entlang des Potentialminimums keine Krümmung existiert folgt umgekehrt, dass das zweite Teilchen keine Masse hat.
Dieses Auftreten eines masselosen Teilchens wird im Goldstone Theorem beschrieben: masselose Skalare treten auf, wenn die Symmetrie spontan gebrochen wird. Ihre Zahl ist gleich der Zahl spontan gebrochener Erzeugenden der Symmetriegruppe.
Für die Existenz dieser zusätzlichen masselosen Teilchen gibt es aber keinen experimentellen Hinweis.
Zitat Martin & Halzen S 325: `` Our hope of finding a gauge theory of weak interactions with massive gauge bosons looks forlorn. It appears that we shall also have unwanted (unobserved) massless scalar particles to worry about. Nevertheless, let us proceed from a global to a local gauge theory. A miracle is about to happen.''
Wir betrachten nun also Symmetriebrechung und verlangen lokale Eichinvarianz U(1), wir müssen also die Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzen:
die Lagrangedichte lautet dann :
wir entwickeln um das Minimum und erhalten:
Wir haben nun
mit Masse 
mit Masse 
, können wir nicht als Teilchen interpretieren
Wir machen folgende Eichtransformation
ist so gewählt, dass h reell ist. Damit wird
Der Lagrange beschreibt jetzt ein massives Eichboson und ein massives Skalar h (Higgs) der Masse 
.
In dieser Formel taucht nicht mehr auf! Das Goldstone Boson wurde gebraucht für die longitudinale Polarisation des massiven Eichbosons. (Man sagt auch das Eichfeld hat das Goldstone Boson aufgegessen). Dies nennt man den Higgs Mechanismus, der uns erlauben würde ein massives Photon zu erzeugen.
Durch die Kopplung an das Eichfeld wird also die Entstehung des Goldstone Bosons verhindert, die Freiheitsgrade des Goldstone Bosons kombinieren mit den Eichfeldern, so dass massive Vektorbosonen entstehen können.
Wir machen jetzt das noch einmal und verlangen Eichinvarianz unter SU(2):
wobei ein SU(2) Dublett ist:
soll lokal eichinvariant sein, wir ersetzen also die Ableitung
Wir brechen die Symmetrie und wählen den Grundzustand
und machen die Entwicklung
Dieser Ansatz reicht vollkommen, da eine Drehung die allgemeine Form wiederherstellen kann. Wir eichen die Goldstone Bosonen analog wie im Beispiel für U(1), dadurch kann in die Eichfelder absorbiert werden. Für den Masseterm erhalten wir
und somit folgt für die Masse der W-Bosonen: 
.
Die drei Eichfelder haben die drei Goldstone Bosonen aufgegessen und sind massiv geworden. Übrig bleibt noch ein massives Higgs Boson der Masse .