Bis jetzt sind wir von einer bekannten Gleichung (Maxwell, Schrödinger, Dirac) ausgegangen und haben überprüft, dass sie unter der Transformation 
invariant sind.
Nun verlangen wir von der Theorie, dass sie eichinvariant ist unter der lokalen Transformation (Phasenverschiebung)
.
Dies ist unsere Symmetrietransformation unter der sich die Physik nicht ändern soll. Wir haben gesehen, dass dann aber die Schrödinger- und die Diracgleichung nicht mehr erfüllt sind, man muss die Ableitung ersetzen durch die kovariante Ableitung:
Die modifizierte Dirac-Gleichung lautet dann:
sie ist invariant unter , wenn sich das Feld wie folgt transformiert:
. Die modifizierte Gleichung beschreibt also die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld.
Bemerkungen:
0) Die Anforderung, dass die Theorie bei einer lokalen Phasenverschiebung von 
invariant sein soll, hat das Feld 
erzeugt, das sich mittransformiert.
Dies nennt man auch das Eichprinzip:
eine lokale Invarianzbedingung erzeugt ein neues Feld = Eichfeld oder eine lokale Phasenverschiebung und der Effekt von einem neuen Feld führen zur selben Beobachtung.
1) Eine globale Invarianzbedingung 
mit 
erzeugt kein neues Feld. Die Schrödinger- und die Diracgleichung sind invariant unter einer globalen Phasentransformation, nicht aber unter einer lokalen, da 
und 
auf die Phase wirken.
2) Führen wir die Transformation für die Schrödingergleichung eines freien Teilchens durch,
so ändert sich die Schrödingergleichung, sie beschreibt nicht mehr ein freies Teilchen. Dh. lokale Invarianz ist für ein freies Teilchen nicht möglich. Die Invarianzbedingung kann erst in Präsenz von einem Feld erfüllt werden.
3) In der Quantenfeldtheorie wird der Faktor q in der Phase die Kopplungskonstante des Teilchens an die Feldquanten von .
4) Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgt eine Theorie mit Wechselwirkung mit einem Vektorfeld. Die Wechselwirkung mit einem geladenen Teilchen ist dann bestimmt und ist insbesonders gleich für jedes Teilchen mit gleicher Ladung, da es nur einen Parameter q gibt.
5) Die elektrische Ladung tritt als Kopplungskonstante und als Erhaltungsgrösse auf.
6) Die Annahme dass das Eichfeld Masse hat, zerstört die Eichinvarianz, ein Term 
ist nicht eichinvariant.
7) Anschauliches Beispiel für den Zusammenhang zwischen lokaler Invarianz und Kräften:
|
| |
| globale Symmetrietransformation | lokale Symmetrietransformation |
| Drehung um die Achse | Verschiebung der Punkte untereinander |
| Lage der Punkte ändert sich überall | Form bleibt |
| elastische Kräfte | |
Das Eichfeld Photon trägt natürlich zur Energie des Gesamtsystems bei, so dass die Lagrangedichte um einen entsprechenden Term erweitert werden muss;
Wir haben also gesehen wie die Forderung nach lokaler U(1)-Eichinvarianz der Diracgleichung zu der wechselwirkenden Feldtheorie der QED führt. Ausserdem folgt, dass das Photon masselos sein muss, da ein eventuell vorhandener Massenterm die Eichsymmetrie zerstören würde.
Die erfolgreiche Anwendung des Eichprinzips auf die elektromagnetische Wechselwirkung mit der inneren Symmetrie U(1) legt den Gedanken an Verallgemeinerung auf den Fall höherer Symmetrien nahe. Dies ist die Grundlage für eine einheitliche Beschreibung der Wechselwirkungen.
In Analogie kann man zu höheren Symmetriegrupen übergehen und lokale Invarianz verlangen. Auch hier wird sich zeigen, dass die Theorie des freien Materienfeldes nicht eichinvariant ist, es müssen entsprechende Eichfelder eingeführt werden, die mit der Materie und auch mit sich selbst wechselwirken. Ausgehend von den Eichgruppen SU(2) und U(1) kann so ein Modell für die elektroschwache Wechselwirkung gemacht werden. Eine Erweiterung auf SU(2) ausgehend vom Isospin der Hadronen wurde 1954 von Yang und Mills vorgeschlagen.
