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Grand Unified Theories, GUT

Die Philosophie von GUT basiert auf der Hypothese, dass die starke, schwache und elektromagnetische Kraft verschiedene Zweige einer einzigen Wechselwirkung sind. Diese Vereinheitlichung der Kräfte passiert bei sehr hohen Energien. Die Kopplungskonstanten werden bei sehr hohen Energien (tex2html_wrap_inline4016) etwa gleich gross. Das heisst, bei diesen Energien gibt es eine grosse Symmetrie, wo alle Massen und Kopplungen gleich gross sind. Mit unseren heutigen Experimenten beobachten wir nur den niederenergetischen Teil, wo die Symmetrie gebrochen ist und die Kopplungen aufspalten.

Die grundlegende Annahme in GUT lautet, dass es nur eine grosse Eichsymmetrie (nur eine Kopplung) gibt mit der Symmetriegruppe tex2html_wrap_inline4018 (oder SO(N)) so dass tex2html_wrap_inline4000tex2html_wrap_inline4024. Diese Gruppe definiert auch den Zusammenhang der drei Kopplungskonstanten. tex2html_wrap_inline4026 ist spontan durch ein Higgsfeld gebrochen, wodurch die X- Bosonen Masse kriegen. Erst durch die zweite Symmetriebrechung bei tex2html_wrap_inline4030 kriegen auch die Quarks, Leptonen und die Eichbosonen Masse.

Da die Q-Abhängigkeit der Kopplungskonstanten durch die Eichgruppen beschrieben werden, kann die Unification Masse, bei der die drei Kopplungskonstanten gleich gross werden, abgeschätzt werden: tex2html_wrap_inline4034.

Die einfachste GUT ist SU(5) und hat tex2html_wrap_inline4038 Eichbosonen, wovon wir 12 (Photon, tex2html_wrap_inline4040, 8 Gluonen) schon kennen. Zusätzlich würde es noch 6 farbige, geladene Bosonen und ihre Antiteilchen geben (Y mit Ladung -1/3, Z mit -4/3). Diese Bosonen nennt man Leptoquarks, sie können Quarks in Leptonen und umgekehrt ändern. Dabei werden sowohl die Leptonzahl(L)- als auch die Baryonzahlerhaltung (B) (nicht aber B-L) verletzt.

  Eine unmittelbare Konsequenz davon ist der Protonzerfall
eqnarray686

Die Voraussagen bewegen sich zwischen tex2html_wrap_inline4046 und tex2html_wrap_inline4048 Jahren, während die gemessene Lebensdauer bei über tex2html_wrap_inline4050 liegt. Damit ist Standard-GUT experimentell ausgeschlossen.

Weitere Voraussagen von GUT sind magnetische Monopole, die keine elektrische Ladung tragen. Bis heute wurden sie nicht beobachtet.

Für Energien grösser als tex2html_wrap_inline4052 ist die Theorie symmetrisch gegenüber SU(5) und es kommt nur eine Kopplungskonstante tex2html_wrap_inline4056 vor, bei niedrigeren Energien ergeben sich unterschiedliche Kopplungen aufgrund von Symmetriebrechung. Man kann so verstehen, wieso die starke Wechselwirkung viel stärker als die elektroschwache ist: Nach der Symmetriebrechung gibt es unterschiedliche Eichgruppen und da SU(3) mehr Vektorbosonen hat, wächst die Kopplungskonstante mit kleiner werdenden Energien am stärksten an.

  Ein wichtiges Ergebnis von GUT ist, dass der Weinbergwinkel vorhergesagt wird. Da es nur eine Kopplungskonstante gibt, sind g und tex2html_wrap_inline4062 nicht mehr unabhängig. Aus gruppentheoretischen Überlegungen folgt:
equation689
Dieser Wert gilt allerdings nur bei SU(5) Symmetrie, also bei sehr hohen Energien. Da tex2html_wrap_inline4062 von U(1) zu kleinen Energien abnimmt während g von SU(2) zunimmt, wird tex2html_wrap_inline4074 kleiner. Man erhält mit den Korrekturen einen Wert von tex2html_wrap_inline4076, was ganz gut mit dem experimentellen Wert tex2html_wrap_inline4078 zusammenpasst.

  Jede der drei Familien von Quarks und Leptonen hat total (mit Antiteilchen und Farben) 15 Teilchen, die man in SU(5) in den zwei niedrigsten Darstellungen mit den Dimensionen 5 und 10 darstellen kann (analog für die rechtshändige Komponente). Mit der Notation in tex2html_wrap_inline4082 Zerlegung:
eqnarray693

  Einer der Erzeugenden Operatoren der Gruppe SU(5) ist der Ladungsoperator Q, der diagonal gewählt werden kann, so dass die Diagonalelemente der Ladung der Teilchen entsprechen. Da Q ein Erzeugender der Gruppe ist, muss seine Spur verschwinden. Das heisst, dass die Summe der Ladungen einer Darstellung verschwinden müssen. Aus der Anordnung der Leptonen und Quarks in einer Repräsentation folgt für ihr Ladungsverhältnis:
eqnarray695
und somit folgt automatisch tex2html_wrap_inline4090. Die Drittelladungen ergeben sich offensichtlich als Konsequenz der drei Farbfreiheitsgrade.

Eine Konsequenz von SU(5) ist auch, dass die d-Quarks im Symmetriebereich (tex2html_wrap_inline4096) dieselbe Masse haben, wie die Leptonen. Mit Hilfe der QCD lassen sich die Renormierungseffekte berechnen, die die Quarkmasse um einen Faktor 3 vergrössern, wenn man zu den Laborenergien extrapoliert. Man erhält so für das Massenverhältnis schwerer Fermionen den Wert tex2html_wrap_inline4098, was recht gut mit dem gemessenen Massenverhältnis von 2.6 übereinstimmt.

Ein Problem von GUT als einzige Erweiterung des Standardmodells ist, dass sich die Kopplungskonstanten nicht wirklich treffen. Vereinheitlichung ist nur möglich, wenn neue Physik zwischen der elektroschwachen und der Planckskala dazukommt. Mit einer supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) hingegen kann eine perfekte Vereinigung der Kopplungskonstanten erreicht werden. (Figur gif). Deutlich zu sehen ist in Figur gif der Einfluss der neuen supersymmetrischen Teilchen bei Energien von etwa 1 TeV.
Die drei Steigungen sind natürlich stark korrelliert, so dass Vereinheitlichung nicht einfach nur durch Korrekturen durch neue Teilchen erreicht werden kann. Beispielsweise kann keine Vereinheitlichung erzielt werden durch mehr als drei Familien oder neue Higgs-Dubletts.

  figure697
Abbildung: Extrapolation der Kopplungskonstanten in GUT und MSSM+GUT

Die Beziehung der Steigung der drei Kopplungskonstanten (tex2html_wrap_inline4102 quantifiziert man über den Parameter B, er hängt nur von den Anzahl Higgs-Dubletts (tex2html_wrap_inline4104 ab
equation701
im Widerspruch zum präzise gemessenen Wert von tex2html_wrap_inline4106.

      


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Don Jun 13 17:58:05 CEST 2002