Einleitung

1970 wurde die Theorie der Supersymmetrie entwickelt, um einige Probleme des Standardmodells zu lösen heute gilt sie als die am besten verstandene Theorie ausserhalb des Standardmodells.

• Hierarchie Problem: wieso ist so klein. In GUT hat man zwei verschiedene Skalen V >>v, die für die Symmetriebrechung benötigt werden.
  
  
• Higgsmasse - wie wird die Hierarchie bewahrt? - Natürlichkeitsproblem
  Die Strahlungskorrekturen zur skalaren quadrierten Higgsmasse sind von der Grössenordnung (Skala), als natürliche Skala bietet sich die Planckmasse an, damit wird . Das heisst die natürliche Masse eines skalaren Teilchens ist . Für die elektroschwache Theorie muss die Higgsmasse aber von der Grössenordnung der elektroschwachen Skala () sein. Dies nennt man auch Natürlichkeitsproblem: die Higgsmasse ist nicht bei ihrem natürlichen Wert. Die Divergenzen können weg-renormalisiert werden, aber dies muss in allen Ordnungen Störungstheorie sehr sorgfältig gemacht werden (``fine tuning''). Dies ist technisch machbar, aber ziemlich unnatürlich. Man muss dabei beachten, dass alle Teilchen auch mit hohen Massen durch virtuelle (auch sehr indirekte) Loopkorrekturen zu den Korrekturen der Masse beitragen.

  Es ist naheliegend, dieses auffällige Verschwinden der divergenten Terme einer neuen Symmetrie zuzuordnen, sie soll Fermionen und Bosonen miteinander verbinden, da die Fermionen und Bosonen mit unterschiedlichem Vorzeichen zu den Loop Korrekturen beitragen (die Fermionen haben einen zusätzlichen Faktor (-1) aus der Fermi Statistik).
   

  Die Korrekturen sind:
  - Für Fermionen
  - Für Bosonen
  wobei die Skala ist, bis zu der die Korrekturen gerechnet werden, normal wird sie gleich gesetzt. Damit sich die quadratischen Terme aufheben, müssen die Kopplungskonstanten sein, was eine Beziehung zwischen Bosonen und Fermionen voraussetzt.

   

    
  Abbildung: Aufhebung der Quantenkorrekturen in einem supersymmetrischen Modell
  

  Figur  zeigt die beiden Quantenkorrekturen in einem Supersymmetrischen Modell. Die erste Zeile zeigt die Beiträge vom schweren Higgsboson (für GUT Brechung) und seinem Superpartner, die durch Yukawa-Kopplung koppeln. Die zweite Zeile den der Eichbosonen mit der Kopplungskonstanten g. In ungebrochener SUSY heben sich die Terme exakt auf, da die Massen der Superpartner gleich gross sind.
  
  Wenn Supersymmetrie gebrochen ist, bleibt eine Korrektur
  
  die klein ist, solange . Diese Abschätzung gibt dieselbe Skala für SUSY (1 TeV) wie durch die Vereinheitlichung der Kopplungskonstanten (siehe später).

   Supersymmetrie macht keinen Unterschied zwischen Fermionen (Materie) und Bosonen (Kräfte) aber die Anzahl Teilchen wird dadurch verdoppelt: zu jedem Teilchen gibt es einen supersymmetrischen Partner, der sich im Spin um 1/2 unterscheidet.

  
Abbildung: Zu jedem Teilchen gibt es ein supersymmetrisches Teilchen

SUSY verbindet die Massen und Kopplungen von Teilchen mit verschiedenem Spin und transformiert Fermionen in Bosonen und umgekehrt:

Wenn wir symbolisch eine SUSY Transformation schreiben als: , mit B und f einem Boson-, rsp. Fermionfeld und einer infinitesimalen SUSY Transformation, so folgt aus den (Anti)Kommutationsregeln für Fermionen und Bosonen:

Dies bedeutet, dass die SUSY-Generatoren fermionisch sind. Q besitzt selbst Spin 1/2 und kann deshalb die Helizität eines Boson- rsp. Fermionzustandes ändern. Die einfachste Wahl für Q ist ein 2-komponentiger Spinor (Weyl-Spinor). Die supersymmetrische Algebra verbindet Teilchen mit verschiedenem Spin und ist eine Erweiterung der Poincare Raum-Zeit-Symmetrie.

Die SUSY Algebra enthält die Generatoren (plus konjugiert ) sowie die Poincare Algebra mit folgenden Kommutationsregeln:
[a,b]=ab-ba: Kommutator, Antikommutator

wobei der 4er-Impulsoperator ist. Das wichtigste Ergebnis hierbei ist die erste der obigen Relationen. Danach führen nämlich zwei SUSY-Transformationen nacheinander durchgeführt zu einer Translation in der Raum-Zeit oder das Quadrat des SUSY Generators Q ist der 4-er Impuls ! Somit ist also ein Zusammenhang zwischen der Supersymmetrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erwarten, da diese gerade die Poincaré-Invarianz als Eichsymmetrie enthält.

Unmittelbare Konsequenzen für zwei Superpartner |A> und |B>

• |A> kann durch supersymmetrische Transformationen in |B> überführt werden:
  
• Superpartner haben die gleiche Masse:
  Bew. Massenoperator =
  
• Superpartner haben dieselben Eichquantenzahlen
  Bew. Da Q mit den Generatoren der Eichgruppen kommutieren, geht der Beweis analog

Die Repräsentation der supersymmetrischen Algebra sind Supermultipletts: jedes Multiplet enthält ein Fermion und ein Boson, die zueinander Superpartner sind. Alle Teilchen eines Supermultiplets müssen dieselben Quantenzahlen der Eichgruppe (Ladung, schwacher Isospin, Farbe) sowie dieselbe Masse haben.

     Bemerkungen:

• wenn der virtuelle Austausch der Superpartner in die Berechnung der quadratischen Divergenzen hinzugefügt wird, heben sich die Beiträge exakt auf und es bleibt nur eine logarithmische Divergenz.
• Spartikel sind bis heute nicht nachgewiesen worden, das heisst ihre Massen müssen sehr viel höher sein als die der SM Teilchen. Deshalb kann die Supersymmetrie keine exakte Symmetrie sein, sonst wären die Massen gleich gross.
• Das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) ist, wenn es neutral ist und nicht zerfällt, ein guter Kandidat für Dunkle Materie.
• Die SUSY Algebra enthält , Raum-Zeit Translationen. Aus der Eichinvarianz unter dieser Transformation folgt die Einsteinsche Theorie der Gravitation. Das heisst SUSY beinhaltet Gravitation, sie ist in der Supergravitation (SUGRA) miteingebaut.

Wir betrachten im folgenden den einfachsten Fall (nur ein SUSY Generator: N=1) mit zwei Typen von Supermultipletts: Chiral- Supermultiplet, das die beiden Zustände mit Spin 0 und 1/2 enthält und das Vektormultiplet mit Spin 1/2 und 1.