Für chirales Supermultiplet

Wir konstruieren erst eine allgemeine Lagrangedichte, deren Bewegungsgleichungen

unter einer supersymmetrischen Transformation invariant bleiben. Wir gehen folgendermassen vor:

• Nur kinematische Terme
• Einführung eines Hilfsfeldes F
• Wechselwirkungen und Masseterme mit Hilfe eines Superpotentials

Die einfachste supersymmetrische Lagrangedichte für ein chirales Multiplet enthält die kinetische Energie der Fermion- und Bosonfelder:

In der Formel taucht statt auf, da ein 2-komponentiges Weyl-Fermion und kein 4-komponentiger Dirac-Spinor ist. ^ = (

)

Die Supersymmetrietransformation e ändert das Boson in ein Fermion und umgekehrt.

e ist eine infinitesimale Transformation , die die SUSY Transformation parametrisiert. e ist fermionisch (antikommutierend) und soll konstant sein (). Damit die Lagrangedichte bis auf eine totale Ableitung invariant bleibt, muss sich wie folgt transformieren.

Es kann einfach überprüft werden (siehe Anhang), dass unter der obigen Transformation die Bewegungsgleichungen invariant bleiben:

  Dies ist das einfachste supersymmetrische Modell (Wess-Zumino Modell). Es beschreibt ein nicht wechselwirkendes, masseloses chirales Supermultiplet.

Um diese einfache Theorie zu verallgemeinern wird ein Hilfsfeld F (komplexes Spin-0) eingeführt, was mit den anderen Feldern koppelt. Dieses Feld hat keine eigene Dynamik und ist nur algebraisch mit den anderen Feldern verbunden. Die Lagrangedichte für das Hilfsfeld ist sehr einfach:

 

sie hat insbesonders keinen kinematischen Term. Die Bewegungsgleichung ist F=0 und F hat offenbar die Dimension . Das Hilfsfeld wird gebraucht, damit die SUSY Algebra auch für virtuelle Teilchen erfüllt werden kann.

Die Lagrangedichte lautet nun

mit der SUSY Transformation:

    Nun bauen wir die Wechselwirkung zwischen den fermionischen und den bosonischen Feldern ein. Wir möchten Yukawa-Kopplung zwischen den skalaren und Fermionfeldern und Masseterme, aber keine neue fermionische Wechselwirkung.

Es kann gezeigt werden, dass die allgemeinste renormierbare Form der Wechselwirkung wie folgt geschrieben werden kann:

Dabei sind und Funktionen der Bosonfelder mit Dimension m, respektive .

Da auch invariant unter SUSY-Transformation sein muss, folgt für die Form des Superpotentials W &=& 12 M^ij_j+ 16y^ijk
W^ij &=&^2W= 12 |Mij +16y^ijk_k
W^i &=&W_i = 12 M^ij_j+ 16y^ijk

• Das Superpotential enthält nur trilineare und bilineare Terme der skalaren Felder, es tauchen keine fermionischen und keine Hilfsfelder auf.
• ist eine symmetrische Massenmatrix für die Fermionfelder und die Yukawakopplung von zwei Fermionfelder und einem Skalar:
  
  
• Der zweite Term in der obigen Lagrangedichte enthält nur Terme proportional zum Hilfsfeld F: .
  
  Das Hilfsfeld kann noch eliminiert werden, da zu den Bewegungsgleichungen und führt.
  Somit kann man den zweiten Term zusammen mit dem Hilfsfeld zu einem skalaren Potential zusammenfassen:
  
  
• Das skalare Potential enthält die Massenterme für die Skalare mit derselben Massenmatrix wie für die Fermionen, sowie Wechselwirkungen mit drei, bzw. vier Skalaren (kubische und di-quadratische Kopplung).
• Das Superpotential W bestimmt die skalare Wechselwirkung und die Yukawa Kopplung
• Die Form des Superpotentials ist bestimmt durch die Forderung nach Eichinvarianz, wobei nur wenige Terme und ungleich Null sind.
  
• Für ein gegebenes kriegt man Skalar-Fermion-Fermion und (Skalar) Kopplung, mit genau den Kopplungsstärken , resp , die gebraucht werden, damit sich die quadratischen Korrekturen bei der Higgsmasse aufheben.

    
  Abbildung: Fermion-Skalar-Skalar mit Kopplung und (Skalar) ()Kopplung